Số các ước tự nhiên của số tự nhiên n

• Số các ước tự nhiên của số tự nhiên n ký hiệu là τ ( n ) {\displaystyle \tau (n)}

Cho số tự nhiên n> 1 với dạng phân tích tiêu chuẩn như trên. Khi đó mỗi ước b của n có dạng:

b = p 1 β 1 p 2 β 2 … p k β k {\displaystyle b={p_{1}}^{\beta _{1}}{p_{2}}^{\beta _{2}}{\dots }{p_{k}}^{\beta _{k}}}

trong đó 0 ≤ β i ≤ α i {\displaystyle 0\leq \beta _{i}\leq \alpha _{i}} với mỗi 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} .

Do đó số tất cả các ước tự nhiên của n là

τ ( n ) = ( β 1 + 1 ) ( β 2 + 1 ) ⋯ ( β k + 1 ) , {\displaystyle \tau (n)=(\beta _{1}+1)(\beta _{2}+1)\cdots (\beta _{k}+1),} ví dụ: 6936 = 2 3 × 3 × 17 2 , {\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2},\,\!} , nên số 6936 có số các ước tự nhiên là (3+1).(1+1).(2+1)=24.

Tổng các ước tự nhiên của số tự nhiên n

Tổng các ước tự nhiên của số tự nhiên n được ký hiệu là σ(n).

Công thức tính σ(n) như sau

σ ( n ) = p 1 β 1 + 1 − 1 p 1 − 1 p 2 β 2 + 1 − 1 p 2 − 1 ˙ … p k β k + 1 − 1 p k − 1 {\displaystyle \sigma (n)={\frac {{p_{1}}^{\beta _{1}+1}-1}{{p_{1}}-1}}{\dot {\frac {{p_{2}}^{\beta _{2}+1}-1}{{p_{2}}-1}}}\dots {\frac {{p_{k}}^{\beta _{k}+1}-1}{{p_{k}}-1}}}

Xem thêm: Hàm tống các ước

Các ước tự nhiên khác chính nó của n được gọi là ước chân chính (hay ước thực sự) của n. Nếu tổng các ước chân chính của số tự nhiên n bằng chính n hay σ ( n ) = 2 n ˙ {\displaystyle \sigma (n)=2{\dot {n}}} thì n được gọi là số hoàn chỉnh.

Ví dụ:

Số 6 có các ước chân chính là 1,2, 3 và 6 = 1 + 2 + 3 nên 6 là số hoàn chỉnh.Số 28 có các ước chân chính là 1,2, 4, 7, 14 và 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 nên 28 là số hoàn chỉnh.